Sexta-feira, 5 de Junho de 2009

A decomposição de números e os selos

Existe um princípio matemático que afirma o seguinte:

- Qualquer número inteiro é uma potência de base 2 ou a soma de potências de base 2.

Este princípio permite-nos fazer uma espécie de jogo com cartões em que conseguimos adivinhar o número que alguém escolheu se nos disser em que cartões está o número.

 

Para que se possa compreender façamos uma experiência:

 

- Considere o leitor  que escolheu, por exemplo, o número 27.

Em que cartões estará o número 27? Basta saber que 27 = 24 + 23 + 21 + 20 , ou seja, 27 = 16 + 8 + 2 + 1. O número 27 terá de estar em 4 cartões, porque para obtermos a soma 27 temos de utilizar 4 potências de base 2, como se viu anteriormente.

Pode é fazer-se outra pergunta:

E quais são os números que constam dos cartões?

Para responder a esta questão teríamos de construir os cartões escrevendo as potências que entram na formação de cada número:

A - 20 = 1 B - 21 = 2 C - 22 = 4 D - 23 = 8 E - 24 =16
1 2 4 8  
3 3 5 9  
5 6 6    
7 7 7    
9        
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         

 

Para formar o número 1 preciso apenas do peso 1 e para o 2 também só o 2; mas  3 = 1 + 2; 4 = 4; 5 = 4 + 1; 6 = 4 + 2; podemos continuar: é fácil. Inscrever na coluna de cada potência quais os números em que essa potência entra.

Tentem preencher o resto das células e acrescentem as necessárias para poderem utilizar 5 potências.

Se considerarmos 5 potências podemos formar números até 31.

 

Mas se formos a uma estação dos CTT despachar uma encomenda,  por exemplo, de 241 gramas, que pesos deve utilizar o empregado, considerando que há um número óptimo de pesos? Têm de ser potências de 2:

 241 = 27 + 26 + 25 + 24 + 20

 241 = 128 + 64 + 32 + 16 + 1 - 5 pesos

 

Tentem responder a este pequeno desafio:

 

- Imagine que estava numa estação dos CTT a despachar uma encomenda que pesava 255g. Que pesos devia usar o empregado, de acordo com as condições que pusemos anteriormente?


Já que estamos a falar de correios, recentemente encontrei um livro da editora Gradiva, de Carlos Roque e Luísa Cruz, cujo título é "Matemática ao virar da esquina", no qual é apresentado um problema que envolve selos. Como o desafio tem a ver com a decomposição de números, resolvi adaptá-lo e apresentá-lo como desafio aos leitores. Aí vai:

- A companhia de Correios onde o meu amigo Victor trabalha decidiu recentemente lançar uma edição de selos - 5 selos de valores diferentes - de modo que seja possível obter todas as tarifas de 1 cêntimo até 55 cêntimos usando apenas 4 selos. Para obter as diferentes tarifas podem repetir-se os selos. Por exemplo: 3 = 1 + 1 + 1, isto é, três selos de um cêntimo. Quais são os valores dos selos que devem ser editados para cumprir a condição inicial?

Ficamos à espera dos vossos comentários e das vossas soluções. Bons raciocínios.

 

 

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publicado por Frantuco às 18:45
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