Quinta-feira, 22 de Janeiro de 2009

Algoritmos - O teorema de Pick

As situações problemáticas que apresento têm quase sempre a ver com situações do quotidiano e procuram contar uma "história". A situação que vou apresentar, embora não tenha acontecido exactamente como vai ser contada, foi suscitada por um amigo que pediu a minha ajuda para calcular a área de algumas paredes de uma loja que pretendia cobrir de azulejos. No entanto, pretendia que as paredes apresentassem desenhos de diversas formas, o que dificultava a tarefa, pois tinha de calcular as diferentes áreas dos polígonos envolvidos, para saber quantos azulejos teria de comprar de cada espécie.


Se para os quadrados e os rectângulos tinha a tarefa facilitada, para os triângulos, pentágonos e hexógonos era bastante complicado, pois não eram polígonos regulares. A questão complicava-se porque a posição das figuras era diversificada e para os triângulos tornava-se difícil determinar a altura, necessária para calcular a área. Para os pentágonos e hexágonos o problema também não era fácil, pois como eram polígonos irregulares, para calcular a sua área tornava-se necessário recorrer à decomposição em triângulos ou quadrados ou rectângulos. Talvez uma figura torne mais clara a minha explicação.


Tirámos as medidas das paredes e das figuras e fizemos um desenho à escala, dividindo os espaços em quadrículas. Cada uma destas quadrículas representava um azulejo. Havia triângulos e para calcular a área de um triângulo utiliza-se um algoritmo:

 

                                                           A = b x h / 2

 

Contudo, neste caso, não era possível obter a altura. Vamos introduzir uma figura.

 

Em  relação ao triângulo A é possível aplicar a fórmula anterior. E em relação ao triângulo C? Qual é a altura? qual é a base? Não sabemos.


No entanto, existe um algoritmo, a Fórmula de Pick, que permite calcular a área sem ser necessária as medidas da altura e da base.

 

Fórmula de Pick:                         

 

                                   A = F/2 + I - 1, onde

 

F - representa os pontos do ponteado por onde passa a fronteira do polígono

I  - representa os pontos do ponteado que estão no interior do polígono

 

Aplicando a primeira fórmula ao triângulo A e tomando como unidade de comprimento a distância entre dois pontos (•     •), vem:

 

                               A = 7 x 6/2 ⇒ A = 42/ 2 ⇒ A = 21

 

Se aplicarmos a fórmula de  Pick, vem:

                                                

                              A = 12/2 + 16 - 1 ⇒ A = 6 + 16 - 1 ⇒ A = 21

 

Está confirmado. Através da fórmula de Pick obtemos o mesmo resultado.

 

E como  resolvemos o problema com o triângulo C?

Este é um pequeno desafio para os leitores.

 

A resolução do problema do meu amigo não acabou aqui. Havia outras figuras e era preciso encontrar a sua área, para saber quantos azulejos eram precisos.

O pentágono que se segue era das figuras que fazia parte do conjunto.

A área pode ser encontrada utilizando a figura colorida. O pentágono foi decomposto em 5 triângulos e um quadrado, que devidamente enquadrados nos permite calcular a área do pentágono, tendo como unidade a área da quadrícula, que representa um azulejo. Assim a área do pentágono é:

 

       Ap= 3 + 4,5 + 6 + 4 + 1,5 + 9

     Ap= 28

 

3 → área do triângulo vermelho

4,5 → área do triângulo laranja

6 → área do triângulo lilás

4 → área do triângulo azul

1,5 → área do triângulo verde

9 → área do quadrado branco

 

Este processo é muito moroso e trabalhoso.

Talvez a fórmula de Pick seja mais prática. Vamos verificar se se pode aplicar ao pentágono e outros polígonos:

 

Ap = F/2 + I - 1

Ap = 8/2 + 25 - 1

Ap = 28

 

Também, neste caso, a fórmula de Pick dá-nos o resultado de uma forma mais rápida e eficaz. É um algoritmo que se pode aplicar a qualquer polígono.

 

Vamos deixar para os leitores um desafio:

 

Utilizando a fórmula de Pick, calcular a área dos seguintes polígonos, que são cópias de algumas das figuras que o meu amigo cobriu com azulejos nas paredes da sua loja.

 

                                                                                            

 

Notas:

1 - Georg Pick foi um matemático austríaco que nasceu em Viena em 1859 e morreu em 1942.

 

2 -Teorema de Pick
Dado um polígono simples P, sejam F o número de pontos de fronteira,  I o número de pontos interiores.   

Então a área Ap desse polígono é dada pela expressão seguinte  

 

Ap = F/2 + I - 1

 

publicado por Frantuco às 18:40
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