Quarta-feira, 28 de Janeiro de 2009

Algoritmos - A fórmula de Heron

No post anterior apresentei um algoritmo que nos permite calcular a área de um polígono simples se a unidade de área for uma quadrícula. A sua apresentação foi suscitada por um problema de áreas, posto por um amigo que pretendia colocar azulejos, formando figuras de formas diversas, nas paredes da sua loja. Para o podermos fazer tivemos de transformar em ponteado (à escala) os polígonos a construir. Verificámos que, apesar de termos utilizado um algoritmo que facilitou os cálculos, encontrar a solução não foi fácil.

 

Hoje, pretendemos apresentar um algoritmo que, no nosso entender, facilita enormemente o trabalho quando se trata de triângulos. É um modelo que já tem perto de 2 mil anos e de fácil aplicação.

 

Segundo  a fórmula tradicional a área de um triângulo calcula-se aplicando a fórmula:

 

                                                              At = b x h/2

 

O novo algoritmo dispensa a altura, que no caso em apreço era difícil de obter e precisamos apenas das medidas dos comprimentos dos lados. Vejamos um caso concreto:   

                               

Se aplicarmos a fórmula tradicional a área do triângulo, considerando como base o lado de cima, é:

 

                                                  At = 12 x 8/2

                               At = 48 quadrículas

 

Se aplicarmos a nova (velha) fórmula a área calcula-se da seguinte maneira:

                          

                                           
Como se verifica o resultado é o mesmo - 48 quadrículas. Falta esclarecer o que representam os números que aparecem debaixo do símbolo de radical.

 

16 é o semi-perímetro do triângulo (na fórmula vamos representar por s);

12, 10 e 10 são as medidas dos comprimentos dos lados ( se repararem, o triângulo é isósceles e aplicando o célebre teorema de Pitágoras obtemos a medida dos lados iguais; a base é 12 como é fácil de verificar - na fórmula vamos representá-los por a, b e c).

 

A fórmula que tem o nome de um matemático grego, que viveu no séc. I é conhecida como Fórmula de Heron:

 

 

                                            

 

A utilização desta fórmula facilita-nos o cálculo da área de triângulos, pois não precisamos da altura, que, no caso das figuras do meu amigo, facilitou imenso os cálculos.

 

Vou agora apresentar dois pequenos desafios aos leitores.

 

Calcular a área dos triângulos que se seguem aplicando a fórmula de Heron (os valores indicados são as medidas dos comprimentos dos lados):

 

                                         

 

 

                                                   

Os cálculos a efectuar podem implicar a utilização de raizes quadradas não exactas. Existe neste blog um post que indica como calcular uma raiz não exacta. Bons cálculos.

 

Notas:                                                                                                                                                 

- Heron de Alexandria, geómetra grego nasceu em Alexandria, no Egipto e viveu de10-70d.c.

- Teorema de Heron: Dado um triângulo T de lados a, b e c, a área do triângulo é dada pela fórmula:


                                                              

em que:


s - semi-perímetro do triângulo

a,b,c - medidas dos comprimentos dos lados do triângulo

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publicado por Frantuco às 23:02
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