Quarta-feira, 5 de Novembro de 2008

CAPICUAS

 

O que é uma capicua? – perguntamos nós, para quem o termo é um pouco estranho, ou, pelo menos, pouco conhecido.
De acordo com o dicionário de Língua Portuguesa da Porto Editora é um “conjunto de algarismos ou de letras cuja leitura é a mesma quando feita nos dois sentidos”. Vejamos um exemplo com algarismos: 246642 – lê-se da esquerda para a direita “duzentos e quarenta e seis mil, seiscentos e quarenta e dois” e também se lê da mesma forma da direita para a esquerda. As capicuas com letras são muito interessantes. Vejamos alguns exemplos: METEM; REGER; AMOR A ROMA; ASSIM A AIA IA À MISSA; ANOTARAM A MARATONA, e muitos outros.
 
Também é utilizado o termo palíndromo para designar as capicuas. De acordo com o dicionário referido o termo vem do grego “palindromos” que significa “que corre para trás”.
Qual a importância das capicuas ou palíndromos? – é uma pergunta que podemos fazer.
Depende da perspectiva que adoptarmos. Por exemplo, para um coleccionador de bilhetes de eléctrico ou comboio ou cinema que são numerados são importantes já que podem ter números especiais e interessantes e há quem afirme que encontrar um bilhete com uma capicua dá sorte. Dará? Uma coisa é certa – a probabilidade de encontrar um número capicua num bilhete numerado diminui há medida que o número de algarismos aumenta:
Ø      todos os números de um algarismo são capicuas(5, 7,…).
Ø     se considerarmos os números de dois algarismos o número de capicuas diminui substancialmente(vejamos: 11, 22, 33, 44, 55,…).
Ø     e se considerarmos os números de três algarismos? o que acontece? há mais ou menos capicuas do que com dois algarismos? é fácil de verificar: com dois algarismos temos apenas 90 números, enquanto que com três temos cerca de 900 (quantos são ao certo?); logo se considerarmos a primeira centena o primeiro número capicua é 101; e depois vêm 111 – 121 – 131 – 141 – 151,… e na segunda centena – 202 – 212 – 222 – 232,…
Ø      em relação às capicuas de três algarismos o aspecto que para mim é mais curioso é a forma como a podemos obter. A partir de um número de dois algarismos se fizermos adições sucessivas vamos obter uma capicua de três algarismos. Vejamos:
 
     28+82=110
     110+011=121
 
 
 
     37+73=110
    110+011=121
   
    Haverá mais casos? O que têm de especial os números somados? Duas coisas: os mesmos algarismos por ordem inversa e a sua soma é 10 Será que acontece sempre assim?
Ø      e se a soma dos algarismos do número for onze(11)? Por exemplo: 29+92=121; 38+83=121; curioso, não é? Obtemos uma capicua com apenas uma adição. Será sempre assim?
Ø     O que acontecerá com o número 39, por exemplo? 39+93=132
     132+231=363 – duas adições para obter capicua; e se
      utilizarmos o número 57?
      57+75=132 e já estamos a ver que vai acontecer a
      mesma coisa.
Ø      E com o número 59? 59+95=154
     154+451=605
      605+506=1111. Agora precisámos de três adições, mas
     obtivemos capicua.
 
Podemos fazer uma pergunta: haverá alguma ligação entre a soma dos algarismos de um número de dois algarismos e o número de adições necessárias para obter capicua e também o tipo de capicua obtida?
 
Ø      O que acontecerá com o número 87 cuja soma é quinze (15)?
      87+78=165
     165+561=726
     726+627=1353
     1353+3531=4884
Capicua com quatro adições.
 
E se utilizarmos o número 96, cuja soma também é 15.
96+69=165… É evidente, a partir daqui que todos os números cuja soma dos algarismos seja 15, precisam de 4 adições para dar capicua.
 
Para terminar esta forma de obter capicuas vamos verificar se é possível obtê-las utilizando números com três, quatro, cinco,… algarismos.
Vejamos:
 
345+543=888
 
678+876=1554
1554+4551=6105
6105+5016=11121
11121+12111=23232(capicua) – os números escolhidos têm três algarismos consecutivos.
 
O que acontecerá se não for assim?
291+192=483
483+384=867
867+768=1635
1635+5361=6996 (capicua!)
 
E números com mais de três algarismos?
47286+68274=115560
115560+065511=181071 …
Depois de um número significativo de adições (15) não obtivemos capicua. Será que conseguiremos obtê-la ou ter-nos-emos enganado nas operações. Deixamos este desafio para os leitores.
 
O assunto das capicuas é muito vasto. Voltaremos a este assunto e a apresentar outras características e curiosidades das capicuas.

 

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publicado por Frantuco às 11:48
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