No tempo da minha infância não havia televisão, que é um bocadinho mais antiga do que as novas tecnologias. As longas noites de inverno eram passadas junto da lareira ou à braseira de carvão, porque na maior parte das aldeias deste Portugal profundo não havia electricidade e a iluminação fazia-se com candeeiros de petróleo, alguns bem bonitos e que são hoje peças de coleccção.
Foi, por isso, que eu ouvi (a tradição oral das histórias mantinha-se) contar aos meus avós, pais e especialmente a uma tia algumas histórias que nos deliciavam e, por vezes, nos faziam sonhar com lobisomens, bruxas, fantasmas, mouras encantadas,...
Mas também se aprendiam outras histórias, em forma de adivinhas, lenga-lengas ou simplesmente "problemas".
Uma lenga-lenga (não sei se será lenga-lenga) é famosa e ainda hoje é conhecida e diz assim (vou apresentar duas versões):
- Passava um gavião por cima de um pombal quando andava a caçar e disse:
- Olá pombal das 100 pombas!
E uma pomba branca respondeu:
- Para serem 100 pombas são precisas estas, outras tantas como estas, metade destas, mais um quarto destas e contigo gavião 100 pombas serão.
Pergunta-se: quantas pombas tinha o pombal?
Esta lenga-lenga em forma de problema exercitava-nos o cálculo e a imaginação
Por vezes aparecia outra versão, em que apenas os valores eram diferentes e dizia o gavião:
- Olá pombal das 100 pombas!
E mais uma vez respondia a pomba:
- Para serem 100 pombas são precisas estas, outras tantas como estas, mais um quarto destas e contigo gavião 100 pombas serão.
Quantas pombas tinha o pombal?
Em qual das versões tinha mais pombas?
Parece fácil responder. É uma questão de um pequeno raciocínio.
Podemos acrescentar uma outra versão que não tem a ver com a tradição e que pode ser traduzida do seguinte modo:
A pomba ao responder ao gavião afirma:
- Para serem 100 pombas, são precisas estas, o triplo destas, mais metade destas e contigo gavião cem pombas serão.
Neste caso, quantas pombas tinha o pombal?
Muitos dos padrões, regularidades, conexões ou simplesmente relações invulgares entre os números ou dos números não têm aplicações práticas e funcionam muitas vezes, apenas, como curiosidades que servem para entusiasmar quem se interessa pela linguagem numérica.
No entanto, nada nos garante que, no futuro, muitas das regras, axiomas, postulados, conjecturas, teoremas, demonstrações relativos aos números e, que hoje, apenas importam enquanto ciência, não venham a ter, como a grande maioria dos conhecimentos que o Homem obteve, aplicações práticas importantes para o desenvolvimento da sociedade e da humanidade.
O que vamos apresentar hoje não é curiosidade dos números. Tem a ver com a nossa capacidade de cálculo mental e de análise.
Imaginemos que estamos conversando com um amigo ao qual pedimos para nos dizer um número de três algarismos diferentes (convém que sejam diferentes – torna-se mais interessante).
O nosso amigo diz-nos
572
O que fazemos com este número?
Dizemos ao nosso amigo que para ele escrever o algoritmo de uma adição com várias parcelas em que a primeira é o número que ele nos disse.
572
+__________
3 1 0 8
- A adição está incompleta – dirá o nosso amigo e qualquer leitor. Nesta altura nós dizemos:
- Coloca debaixo da primeira parcela todos os restantes números que se podem escrever com os mesmos algarismos, que, neste caso são 5,7,2.
Quantos números é possível escrever com estes algarismos?
O nosso amigo vai escrever 527, 725, 752, 275 e 257. Em seguida vai somá-los todos (incluindo o primeiro):
572 + 527 + 725 + 752 + 275 + 257 = 3108
Podem experimentar, o resultado está certíssimo.
Podemos continuar com as operações e estabelecer algumas relações/conexões.
Se dividirmos
3 108 : 14 = 222
Mas, perguntarão:
- Porquê dividir por 14?
Vamos tentar fazer uma pequena investigação.
Vamos tentar descobrir quantas somas é possível obter, tendo em atenção os seus algarismos.
Para facilitar os cálculos façamos uma tabela:
- A soma menor que é possível obter é 3, considerando que os algarismos são todos diferentes e incluímos o zero, embora à esquerda do número não tenha qualquer valor.
SOMAS | Algarismos | Total - grupos |
3 | 0,1,2 | 1 |
4 | 0,1,3 | 1 |
5 | 0,1,4//0,2,3 | 2 |
6 | 0,1,5//0,2,4//1,2,3 | 3 |
7 | 0,1,6//0,2,5//0,3,4//1,2,4 | 4 |
8 | 0,1,7//0,2,6//0,3,5//1,2,5//1,3,4 | 5 |
9 | 0,1,8//0,2,7//0,3,6//0,4,5//1,2,6//1,3,5//2,3,4 | 7 |
10 | 0,1,9//0,2,8//0,3,7//0,4,6//1,2,7//1,3,6//1,4,5//2,3,5 | 8 |
11 | 0,2,9//0,3,8//0,4,7//0,5,6//1,2,8//1,3,7//1,4,6//2,3,6//2,4,5 | 9 |
12 |
0,3,9//0,4,8//0,5,7//1,2,9//1,3,8//1,4,7//1,5,6//2,3,7//2,4,6 //3,4,5 |
10 |
13 |
0,4,9//0,5,8//0,6,7//1,3,9//1,4,8//1,5,7//2,3,8//2,4,7//2,5,6 //3,4,6 |
10 |
14 |
0,5,9//0,6,8//1,4,9//1,5,8//1,6,7//2,3,9//2,4,8//2,5,7//3,4,7 //3,5,6 |
10 |
15 |
0,6,9//0,7,8//1,5,9//1,6,8//2,4,9//2,5,8//2,6,7//3,4,8//3,5,7 //4,5,6 |
10 |
............ |
.................................................... |
........ |
Espero não me ter enganado.
Quantos grupos é possível formar cuja soma seja 17? E para a soma 22? E qual é a maior soma que é possível obter com algarismos diferentes? Quantos grupos é possível formar para obter essa soma?
Com os algarismos 6, 9, 8 podemos escrever 986, que é o maior número que é possível escrever com estes algarismos. Se 986 for a primeira parcela de uma adição, em que as outras cinco parcelas são formadas pelos mesmos algarismos, a soma será 5106?
Para confirmar é escrever os números e fazer as contas.
Se dividirmos 5106 por 23 vai dar um quociente igual a 222. Lá vem o 222.
E porquê dividir por 23? Exactamente, é isso mesmo: a soma dos algarismos do número 986.
Será que este resultado se obtém com qualquer número de três algarismos?
É fazer a experiência.
Agora já podemos tentar descobrir os seis números que somados dão uma soma de 4662.
Este poema já é famoso. É de um poeta brasileiro, Millôr Fernandes, que o publicou em 1954, num livro chamado “Tempo e Contratempo”.
Poesia Matemática
Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram
no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde
a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
freqüentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer
sociedade.
Millôr Fernandes [1923 - ]
A situação anterior diz respeito a uma raiz exacta, isto é, o número 66 564 é um quadrado perfeito.
A situação que vamos propor corresponde a um número que não é um quadrado perfeito, que resulta de elevar ao quadrado a raiz que vamos calcular e que vai ter duas casas decimais, isto é, vamos fazer uma aproximação às centésimas.
Consideremos a extracção da raiz quadrada do número 2745, aproximada às centésimas. Como proceder?
Quanto ao resto procedemos como no caso anterior.
E continuamos tal como fizemos no caso anterior.
A cada classe de dois algarismos corresponde, na raiz, apenas um algarismo. O nosso número com os zeros acrescentados tem oito algarismos e a raiz apenas quatro. A raiz não é exacta porque obtemos um resto – 0,2879.
Vamos agora verificar se a raiz está correctamente calculada, aplicando a operação inversa. Vamos multiplicar
52,39 x 52,39 = 2744 , 7121
Como verificamos elevando a raiz ao quadrado obtemos um valor próximo do número inicial que é outra maneira de nos indicar que a raiz não é exacta.
Se adicionarmos o resto 0,2879 dá exactamente
2744,7121 + 0,2879 = 2745
Mas ainda temos de verificar se esta raiz é a mais aproximada, por defeito, até às centésimas. Para isso basta escrever o número com a centésima a seguir à da raiz que é
52,40 x 52,40 = 2745,76
Será que este número podia ser a raiz de 2745 a menos de uma centésima? Porquê?
Tal como como dissemos no artigo anterior há muitos algoritmos que foram sendo esquecidos, e, hoje, já são pouco conhecidos. Vamos apresentar o algoritmo da raíz quadrada, que é bastante interessante
Problema B
Um agricultor tem um campo quadrado com uma área de 66564m2, onde quer fazer a plantação de um pomar devidamente organizado em filas de árvores, com espaços regulares entre elas. Para fazer isso precisa de saber as dimensões do terreno, sem ter de o medir. Como proceder?
Como o terreno é quadrado só precisa de calcular a medida do lado do terreno. Sabendo que a área é l2 basta utilizar a operação inversa: calcular a raíz quadrada da área.
Com uma máquina elementar fazia-se o cálculo rapidamente, mas o nosso agricultor sabe pouco dessas coisas e funciona um pouco à maneira antiga e então decidiu calcular a raíz quadrada utilizando o algoritmo tradicional.
O terreno é um quadrado de 258 x 258 m.
O nosso lavrador já pode fazer as contas e calcular quantas laranjeiras vai plantar sabendo que a distância entre filas e laranjeiras é a mesma e é de cinco (5) metros.
Façam as contas e digam ao lavrador quantas filas vai fazer, quantas laranjeiras vai ter cada fila e quantas são no total (Nota: não se esqueçam que as árvores não podem ficar em cima da vedação).
E, agora, para treinar, calculem, utilizando este método, que depois podem confirmar usando a máquina de calcular, a raíz quadrada de
328 156.
Comecemos por fazer uma pergunta: o que é um algoritmo?
Se falarmos de computadores um algoritmo é uma sequência de instruções que é executada numa determinada ordem até que uma condição se verifique.
Mas, matematicamente, é um conjunto de processos e de símbolos utilizados para efectuar um cálculo.
Quer isto dizer que antes de haver computadores já existiam algoritmos e eram as maneiras práticas que os matemáticos descobriram e utilizavam para fazer cálculos.
É assim que temos algoritmos para as diferentes operações aritméticas, adição, subtracção, multiplicação e divisão, que todos nós utilizamos no dia a dia, embora, por exemplo, a mesma multiplicação se possa efectuar de várias maneiras diferentes e apesar dos computadores ainda são utilizados(voltaremos a este assunto).
Há, no entanto alguns algoritmos, já bem antigos que deixaram de ser utilizados, mas que facilitavam muito os cálculos. De entre esses, destacamos dois: o algoritmo de Euclides e o algoritmo da raiz quadrada.
Vejamos um exemplo para cada um dos casos.
Problema A
Um fabricante de enfeites de Natal tem em armazém dois tipos de bolas, 11466 vermelhas e 7128 prateadas. Para controlar os custos das embalagens quer embalar as bolas em caixas todas iguais e pretende saber qual o número máximo de bolas da mesma cor que deve levar cada embalagem de modo que não sobre nenhuma. E quantas embalagens vai fazer com as bolas de cada cor?
Para resolver o problema tem de calcular um número que simultaneamente seja divisor do número (11466) que representa as bolas vermelhas e do número (7128) que representa as bolas prateadas. E como deve ser divisor e ser o número máximo de bolas que divide os dois números, então só pode ser o máximo divisor comum dos dois.
Uma das formas de resolver o problema é utilizar a decomposição em factores primos.
A outra, que é a que nos interessa é utilizar o algoritmo de Euclides ou método das divisões sucessivas para o calcular o
m.d.c (11466, 7128) =
Vamos então utilizar as divisões sucessivas, começando por dividir o número maior pelo menor
11466 : 18 = 637 7128 : 18 = 396
Em conclusão:
As bolas vermelhas são embaladas em 637 caixas de 18 bolas e as prateadas em 396 caixas de 18 bolas.
Duas questões:
Que relação existe entre o m.d.c 18 e os restos que foram sendo obtidos ao longo das divisões efectuadas?
Como fazer para calcular o m.m.c (11466, 7128)?
Hoje vamos apresentar um novo desafio que é mais uma pequena investigação. Não tem a ver com questões práticas, mas permitem-nos descobrir relações entre os números que são bastante interessantes.
Podemos chamar à investigação que vamos fazer “somas de cubos”. Em que consiste? A palavra cubo tem a ver com o número 3. Assim, propomos que se seleccione um número de dois algarismos que seja múltiplo de três (3). Vamos escolher, por exemplo, o 15. Em seguida calculamos os cubos dos seus algarismos e somamos; ao novo número fazemos a mesma coisa: cubos dos algarismos e soma; continuamos o processo até que verifiquemos que alguma coisa está a acontecer:
15 ----- 13 + 53 = 1 + 125 = 126
126 --- 13 + 23 + 63= 1 + 8 + 216 = 225
225 ---- 23 + 23 + 53 = 8 + 8 + 125 = 141
141 ---- 13 + 43+ 13 = 1 + 64 + 1 = 66
66 ------ 63 + 63 = 216 + 216 = 432
432 ---- 43 + 33 + 23 = 64 + 27 + 8 = 99
99 ----- 93 + 93 = 729 + 729 = 1458
1458 -- 13 + 43 + 53 + 83 = 1 + 64 + 125 + 512 = 702
702 -----73 + 23 = 343 + 8 = 351
351 ---- 33+ 53 + 13 = 27 + 125 + 1 = 153
153 ---- 13 + 53 + 33 = 1 + 125 + 27 = 153
A partir deste momento temos a certeza que o resultado se vai repetir indefinidamente, porque os algarismos são os mesmos – 1, 5, 3.
- Propomos que se faça o mesmo com todos os números de dois algarismos múltiplos de 3. Descrever o que acontece. Qual é o número que precisa de mais operações (passos) até se começar a repetir? Qual foi a soma mais elevada que se atingiu?
Sugere-se a elaboração de uma tabela para se verificarem mais facilmente os resultados obtidos; ou então um percurso com os valores obtidos com os diferentes números.
Se começarmos por utilizar os números divisíveis por 3 com dois algarismos, vamos conseguir um conjunto de números que depois de ligados de acordo com as somas obtidas obtemos uma série de percursos até atingirmos o mesmo número, que a partir daí se repete indefinidamente.
Vamos começar pelo menor número de dois algarismosdivisível por 3:
12 9 729 1080 513 153
21 ………………………………….. 153
15 126 225 141 66 432 99 1458 702 351 153
51 …………………………………………………………….. 153
18 513 153
81 …………...153
24 72 351 153
42 …………………... 153
Parece ser evidente, neste momento, que todas as sequências vão terminar no número 153.
Façamos mais algumas somas, utilizando números maiores:
99 1458 702 351 153
78 855 762 567 684 792 1080 513 153
87………………………………………………………... 153
60 216 225 141 66 432 99 1458 702 351 153
6……………………………………………………….............. 153
36 243 99 1458 702 351 153
63 …………………………………………..... 153
Podemos agora confirmar as observações que referimos anteriormente e que nos parecem interessantes:
15 + 51 = 66
26 + 62 = 88
Mas se somarmos 78 + 87 = 165 (não é capicua); mas podemos continuar:
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884 - já é capicua; mas foram precisas quatro somas.
Se calcularmos as somas de todos os números de dois algarismos, múltiplos de três, e tentarmos fazer um diagrama com os percursos todos, obtemos uma figura parecida com a que se segue:
Pode alargar-se a investigação e utilizar os números múltiplos de 3 menos 1.
Por exemplo: 3 x 12 – 1 = 35.
35 ----- 33+ 53 = 27 + 125 = 152
152 --- 13 + 53 + 23 = 1 + 125 + 8 = 134
134 --- 13 + 33 + 43 = 1 + 27 + 64 = 92
92 ----- 93+ 23 = 729 + 8 = 737
737 --- 73 + 33 + 73 = 343 + 27 + 343 = 713
713 --- 73 + 13 + 33 = 343 + 1 + 27 = 371
371 --- 33 + 73 + 13 = 27 + 343 + 1 = 371
A partir deste momento mais uma vez os números começam a repetir-se e vão dar sempre 371.
- Propomos mais uma vez que se utilizem os outros números de dois algarismos da forma 3N – 1 e analisar os resultados e tentar tirar conclusões. Será que a soma final é sempre 371?
Para terminar, experimentar com os números da forma 3N + 1.
Pode começar-se, por exemplo, pelo número 3 x 21 + 1 = 64.
64 ----- 63 + 43 = 216 + 64 = 280
280 --- 23 + 83 = 8 + 512 = 520
520 --- 53 + 23 = 125 + 8 = 133
133 --- 13 + 33 + 33 = 55
55 ----- 53 + 53 = 125 + 125 = 250
250 --- 23 + 53 = 8 + 125 = 133
Neste caso acaba-se num conjunto cíclico de números. Será que acontece com todos os números de dois algarismos da forma 3N+1?
- Sugere-se ainda uma outra investigação: começar com números maiores, por exemplo, de três algarismos, ou utilizar potências de grau superior a três.
(Desenvolvido a partir de Bolt, Brian – Mais Actividades Matemáticas)
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