Comecemos por fazer uma pergunta: o que é um algoritmo?
Se falarmos de computadores um algoritmo é uma sequência de instruções que é executada numa determinada ordem até que uma condição se verifique.
Mas, matematicamente, é um conjunto de processos e de símbolos utilizados para efectuar um cálculo.
Quer isto dizer que antes de haver computadores já existiam algoritmos e eram as maneiras práticas que os matemáticos descobriram e utilizavam para fazer cálculos.
É assim que temos algoritmos para as diferentes operações aritméticas, adição, subtracção, multiplicação e divisão, que todos nós utilizamos no dia a dia, embora, por exemplo, a mesma multiplicação se possa efectuar de várias maneiras diferentes e apesar dos computadores ainda são utilizados(voltaremos a este assunto).
Há, no entanto alguns algoritmos, já bem antigos que deixaram de ser utilizados, mas que facilitavam muito os cálculos. De entre esses, destacamos dois: o algoritmo de Euclides e o algoritmo da raiz quadrada.
Vejamos um exemplo para cada um dos casos.
Problema A
Um fabricante de enfeites de Natal tem em armazém dois tipos de bolas, 11466 vermelhas e 7128 prateadas. Para controlar os custos das embalagens quer embalar as bolas em caixas todas iguais e pretende saber qual o número máximo de bolas da mesma cor que deve levar cada embalagem de modo que não sobre nenhuma. E quantas embalagens vai fazer com as bolas de cada cor?
Para resolver o problema tem de calcular um número que simultaneamente seja divisor do número (11466) que representa as bolas vermelhas e do número (7128) que representa as bolas prateadas. E como deve ser divisor e ser o número máximo de bolas que divide os dois números, então só pode ser o máximo divisor comum dos dois.
Uma das formas de resolver o problema é utilizar a decomposição em factores primos.
A outra, que é a que nos interessa é utilizar o algoritmo de Euclides ou método das divisões sucessivas para o calcular o
m.d.c (11466, 7128) =
Vamos então utilizar as divisões sucessivas, começando por dividir o número maior pelo menor
11466 : 18 = 637 7128 : 18 = 396
Em conclusão:
As bolas vermelhas são embaladas em 637 caixas de 18 bolas e as prateadas em 396 caixas de 18 bolas.
Duas questões:
Que relação existe entre o m.d.c 18 e os restos que foram sendo obtidos ao longo das divisões efectuadas?
Como fazer para calcular o m.m.c (11466, 7128)?
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